Выбор читателей
Популярные статьи
Показательная функция
- это обобщение произведения n
чисел, равных a
:
y(n)
= a n = a·a·a···a
,
на множество действительных чисел x
:
y(x)
= a x
.
Здесь a
- фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции
.
Показательную функцию с основанием a
также называют экспонентой по основанию a
.
Обобщение выполняется следующим образом.
При натуральном x = 1, 2, 3,...
,
показательная функция является произведением x
множителей:
.
При этом она обладает свойствами (1.5-8) (), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел ,
показательную функцию определяют по формулам (1.9-10). При дробных значениях x = m/n
рациональных чисел, ,
ее определяют по формуле(1.11). Для действительных ,
показательную функцию определяют как предел последовательности:
,
где - произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x
:
.
При таком определении, показательная функция определена для всех ,
и удовлетворяет свойствам (1.5-8), как и для натуральных x
.
Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции ».
Показательная функция y = a x
,
имеет следующие свойства на множестве действительных чисел ()
:
(1.1)
определена и непрерывна, при ,
для всех ;
(1.2)
при a ≠ 1
имеет множество значений ;
(1.3)
строго возрастает при ,
строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4)
при ;
при ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Другие полезные формулы.
.
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:
При b = e
,
получаем выражение показательной функции через экспоненту:
, , , , .
На рисунке представлены графики показательной функции
y(x)
= a x
для четырех значений основания степени
: a = 2
,
a = 8
,
a = 1/2
и a = 1/8
.
Видно, что при a > 1
показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a
,
тем более сильный рост. При 0
< a < 1
показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a
,
тем более сильное убывание.
Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
y = a x , a > 1 | y = a x , 0 < a < 1 | |
Область определения | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
Область значений | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
Монотонность | монотонно возрастает | монотонно убывает |
Нули, y = 0 | нет | нет |
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
+ ∞ | 0 | |
0 | + ∞ |
Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a .
Если ,
то
.
Если ,
то
.
Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.
Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных :
.
Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e
:
Применим правило дифференцирования сложной функции . Для этого вводим переменную
Тогда
Из таблице производных имеем (заменим переменную x
на z
):
.
Поскольку - это постоянная, то производная z
по x
равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Найти производную функции
y = 3
5
x
Решение
Выразим основание показательной функции через число e
.
3
= e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда
Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3
- это постоянная, то производная z
по x
равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.
Ответ
Рассмотрим функцию комплексного числа z
:
f(z)
= a z
где z = x + iy
;
i 2 = - 1
.
Выразим комплексную постоянную a
через модуль r
и аргумент φ
:
a = r e i φ
Тогда
.
Аргумент φ
определен не однозначно. В общем виде
φ = φ 0 + 2
πn
,
где n
- целое. Поэтому функция f(z)
также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.
.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Введем сначала определение показательной функции.
Показательная функция $f\left(x\right)=a^x$, где $a >1$.
Введем свойства показательной функции, при $a >1$.
\ \[корней\ нет.\] \
Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке $(0,1)$.
$f""\left(x\right)={\left(a^xlna\right)}"=a^x{ln}^2a$
\ \[корней\ нет.\] \
График (рис. 1).
Рисунок 1. График функции $f\left(x\right)=a^x,\ при\ a >1$.
Введем свойства показательной функции, при $0
Область определения -- все действительные числа.
$f\left(-x\right)=a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ -- функция ни четна, ни нечетна.
$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.
Область значения -- интервал $(0,+\infty)$.
$f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$
\ \[корней\ нет.\] \ \[корней\ нет.\] \
Функция выпукла на всей области определения.
Поведение на концах области определения:
\[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=+\infty \] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=0\]
График (рис. 2).
Исследовать и построить график функции $y=2^x+3$.
Решение.
Проведем исследование по примеру схемы выше:
Область определения -- все действительные числа.
$f\left(-x\right)=2^{-x}+3$ -- функция ни четна, ни нечетна.
$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.
Область значения -- интервал $(3,+\infty)$.
$f"\left(x\right)={\left(2^x+3\right)}"=2^xln2>0$
Функция возрастает на всей области определения.
$f(x)\ge 0$ на всей области определения.
Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке ($0,4)$
$f""\left(x\right)={\left(2^xln2\right)}"=2^x{ln}^22>0$
Функция выпукла на всей области определения.
Поведение на концах области определения:
\[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=0\] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=+\infty \]
График (рис. 3).
Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=2^x+3$
Концентрация внимания:
Определение. Функция вида называется показательной функцией .
Замечание. Исключение из числа значений основания a чисел 0; 1 и отрицательных значений a объясняется следующими обстоятельствами:
Само аналитическое выражение a x в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения x y точка x = 1; y = 1 входит в область допустимых значений.
Построить графики функций: и .
График показательной функции | |
y = a x , a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
Свойства показательной функции
Свойства показательной функции | y = a x , a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
|
||
2. Область значений функции | ||
3.Промежутки сравнения с единицей | при x > 0, a x > 1 | при x > 0, 0< a x < 1 |
при x < 0, 0< a x < 1 | при x < 0, a x > 1 | |
4. Чётность, нечётность. | Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). | |
5.Монотонность. | монотонно возрастает на R | монотонно убывает на R |
6. Экстремумы. | Показательная функция экстремумов не имеет. | |
7.Асимптота | Ось O x является горизонтальной асимптотой. | |
8. При любых действительных значениях x и y ; |
Когда заполняется таблица, то параллельно с заполнением решаются задания.
Задание № 1. (Для нахождения области определения функции).
Какие значения аргумента являются допустимыми для функций:
Задание № 2. (Для нахождения области значений функции).
На рисунке изображен график функции. Укажите область определения и область значений функции:
Задание № 3. (Для указания промежутков сравнения с единицей).
Каждую из следующих степеней сравните с единицей:
Задание № 4. (Для исследования функции на монотонность).
Сравнить по величине действительные числа m и n если:
Задание № 5. (Для исследования функции на монотонность).
Сделайте заключение относительно основания a , если:
y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4 x
Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?
В одной координатной плоскости построены графики функций:
y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .
Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?
Число
одна из важнейших постоянных в математике. По
определению, оно равно пределу
последовательности
при
неограниченном
возрастании n
.
Обозначение e
ввёл Леонард Эйлер
в 1736 г. Он вычислил первые 23 знака этого числа в
десятичной записи, а само число назвали в честь
Непера «неперовым числом».
Число e играет особую роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием e , называется экспонентой и обозначается y = e x . Первые знаки числа e запомнить несложно: два, запятая, семь, год рождения Льва Толстого - два раза, сорок пять, девяносто, сорок пять. |
Домашнее задание:
Колмогоров п. 35; № 445-447; 451; 453.
Повторить алгоритм построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII
§ 179 Основные свойства показательной функции
В этом параграфе мы изучим основные свойства показательной функции
у = а x (1)
Напомним, что под а в формуле (1) мы подразумеваем любое фиксированное положительное число, отличное от 1.
Свойство 1. Областью определения показательной функции является совокупность всех действительных чисел.
В самом деле, при положительном а выражение а x определено для любого действительного числа х .
Свойство 2 . Показательная функция принимает только положительные значения.
Действительно, если х > 0, то, как было доказано в § 176,
а x > 0.
Если же х <. 0, то
а x =
где - х уже больше нуля. Поэтому а - x > 0. Но тогда и
а x = > 0.
Наконец, при х = 0
а x = 1.
2-е свойство показательной функции имеет простое графическое истолкование. Оно заключается в том, что график этой функции (см. рис. 246 и 247) располагается целиком выше оси абсцисс.
Свойство 3 . Если а >1, то при х > 0 а x > 1, а при х < 0 а x < 1. Если же а < 1, то, наоборот, при х > 0 а x < 1, а при х < 0 а x > 1.
Это свойство показательной функции также допускает простую геометрическую интерпретацию. При а > 1 (рис. 246) кривые у = а x располагаются выше прямой у = 1 при х > 0 и ниже прямой у = 1 при х < 0.
Если же а < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые у = а x располагаются ниже прямой у = 1 при х > 0 и выше этой прямой при х < 0.
Приведем строгое доказательство 3-го свойства. Пусть а > 1 и х - произвольное положительное число. Покажем, что
а x > 1.
Если число х рационально (х = m / n ) , то а x = а m / n = n √a m .
Поскольку а > 1, то и а m > 1, Но корень из числа, большего единицы, очевидно, также больше 1.
Если х иррационально, то существуют положительные рациональные числа х" и х" , которые служат десятичными приближениями числа x :
х" < х < х" .
Но тогда по определению степени с иррациональным показателем
а x" < а x < а x"" .
Как показано выше, число а x" больше единицы. Поэтому и число а x , большее, чем а x" , также должно быть больше 1,
Итак, мы показали, что при a >1 и произвольном положительном х
а x > 1.
Если бы число х было отрицательным, то мы имели бы
а x =
где число -х было бы уже положительным. Поэтому а - x > 1. Следовательно,
а x = < 1.
Таким образом, при а > 1 и произвольном отрицательном x
а x < 1.
Случай, когда 0 < а < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.
Свойство 4. Если х = 0, то независимо от а а x =1.
Это вытекает из определения нулевой степени; нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1. Графически это свойство выражается в том, что при любом а кривая у = а x (см. рис. 246 и 247) пересекает ось у в точке с ординатой 1.
Свойство 5. При а >1 показательная функция у = а x является монотонно возрастающей, а при а < 1 - монотонно убывающей.
Это свойство также допускает простую геометрическую интерпретацию.
При а > 1 (рис. 246) кривая у = а x с ростом х поднимается все выше и выше, а при а < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.
Приведем строгое доказательство 5-гo свойства.
Пусть а > 1 и х 2 > х 1 . Покажем, что
а x 2 > а x 1
Поскольку х 2 > х 1 ., то х 2 = х 1 + d , где d -некоторое положительное число. Поэтому
а x 2 - а x 1 = а x 1 + d - а x 1 = а x 1 (а d - 1)
По 2-му свойству показательной функции а x 1 > 0. Так как d > 0, то по 3-му свойству показательной функции а d > 1. Оба множителя в произведении а x 1 (а d - 1) положительны, поэтому и само это произведение положительно. Значит, а x 2 - а x 1 > 0, или а x 2 > а x 1 , что и требовалось доказать.
Итак, при a > 1 функция у = а x является монотонно возрастающей. Аналогично доказывается, что при а < 1 функция у = а x является монотонно убывающей.
Следствие. Если две степени одного и того же положительного числа, отличного от 1, равны, то равны и их показатели.
Другими словами, если
а b = а c (а > 0 и а =/= 1),
b = с .
Действительно, если бы числа b и с были не равны, то в силу монотонности функции у = а x большему из них соответствовало бы при а >1 большее, а при а < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или а b > а c , или а b < а c . И то и другое противоречит условию а b = а c . Остается признать, что b = с .
Свойство 6. Если а > 1, то при неограниченном возрастании аргумента х (х -> ∞ ) значения функции у = а x также неограниченно растут (у -> ∞ ). При неограниченном убывании аргумента х (х -> -∞ ) значения этой функции стремятся к нулю, оставаясь при этом положительными (у ->0; у > 0).
Принимая во внимание доказанную выше монотонность функции у = а x , можно сказать, что в рассматриваемом случае функция у = а x монотонно возрастает от 0 до ∞ .
Если 0 < а < 1, то при неограниченном возрастании аргумента х (х -> ∞) значения функции у = а x стремятся к нулю, оставаясь при этом положительными (у ->0; у > 0). При неограниченном убывании аргумента х (х -> -∞ ) значения этой функции неограниченно растут (у -> ∞ ).
В силу монотонности функции у = а x можно сказать, что в этом случае функция у = а x монотонно убывает от ∞ до 0.
6-е свойство показательной функции наглядно отражено на рисунках 246 и 247. Строго доказывать его мы не будем.
Нам осталось лишь установить область изменения показательной функции у = а x (а > 0, а =/= 1).
Выше мы доказали, что функция у = а x принимает только положительные значения и либо монотонно возрастает от 0 до ∞ (при а > 1), либо монотонно убывает от ∞ до 0 (при 0 < а <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция у = а x при своем изменении каких-нибудь скачков? Любые ли положительные значения она принимает? Вопрос этот решается положительно. Ecли а > 0 и а =/= 1, то, каково бы ни было положительное число у 0 обязательно найдется х 0 , такое, что
а x 0 = у 0 .
(В силу монотонности функции у = а x указанное значение х 0 будет, конечно, единственным.)
Доказательство этого факта выходит за пределы нашей программы. Геометрическая интерпретация его состоит в том, что при любом положительном значении у 0 график функции у = а x обязательно пересечется с прямой у = у 0 и притом лишь в одной точке (рис. 248).
Отсюда можно сделать следующий вывод, который мы формулируем в виде свойства 7.
Свойство 7. Областью изменения показательной функции у = а x (а > 0, а =/= 1) служит множество всех положительных чисел.
Упражнения
1368. Найти области определения следующих функций:
1369. Какие из данных чисел больше 1 и какие меньше 1:
1370. На основании какого свойства показательной функции можно утверждать, что
а) (5 / 7) 2,6 > (5 / 7) 2,5 ; б) (4 / 3) 1,3 > (4 / 3) 1,2
1371. Какое число больше:
а) π - √3 или (1 / π ) - √3 ; в) (2 / 3) 1 + √6 или (2 / 3) √2 + √5 ;
б) ( π / 4) 1 + √3 или ( π / 4) 2 ; г) (√3 ) √2 - √5 или (√3 ) √3 - 2 ?
1372. Равносильны ли неравенства:
1373. Что можно сказать о числах х и у , если а x = а y , где а - заданное положительное число?
1374. 1) Можно ли среди всех значений функции у = 2 x выделить:
2) Можно ли среди всех значений функции у = 2 | x| выделить:
а) наибольшее значение; б) наименьшее значение?
Статьи по теме: | |
Простые и вкусные бутерброды на праздничный стол
Ну какой же праздничный стол без бутербродов? Мы все уже настолько... История развития тхэквондо
Хотя истоки боевых искусств покрыты тайной, нет сомнений, что с... Борьба за власть» Екатерина Богданова
(оценок: 1 , среднее: 1,00 из 5) Название: Пансион искусных фавориток.... |