Выбор читателей
Популярные статьи
Экстремумы функции
Определение 2
Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\le f(x_0)$.
Определение 3
Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\ge f(x_0)$.
Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.
Определение 4
$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:
1) $x_0$ - внутренняя точка области определения;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ или не существует.
Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.
Теорема 2
Достаточное условие экстремума
Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ производная $f"(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:
1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right)
2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)0$, то точка $x_0$ - точка минимума для данной функции.
3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right) >0$ или производная $f"\left(x\right)
Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.
Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов
Примеры экстремумов (Рис. 2).
Рисунок 2. Примеры точек экстремумов
2) Найти производную $f"(x)$;
7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.
Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.
Определение 5
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1
Определение 6
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.
Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.
Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:
1) Найти область определения функции $f(x)$;
2) Найти производную $f"(x)$;
3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f"\left(x\right)=0$;
4) Найти точки, в которых $f"(x)$ не существует;
5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;
6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом получившемся промежутке;
7) Сделать вывод: на промежутках, где $f"\left(x\right)0$ функция возрастает.
Пример 1
Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$
Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.
1) Область определения - все действительные числа;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ существует во всех точках области определения;
5) Координатная прямая:
Рисунок 3.
6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом промежутке:
\ \ .
Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.
Другими словами:
Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.
Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.
Пример.
Найти экстремумы функции .
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2 .
Находим производную:
Нулями числителя являются точки x=-1
и x=5
, знаменатель обращается в ноль при x=2
. Отмечаем эти точки на числовой оси
Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 и x=6 .
Следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично
Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.
Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.
В точке x=-1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции .
В точке x=5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции .
Графическая иллюстрация.
Ответ:
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: первый достаточный признак экстремума не требует дифференцируемости функции в самой точке .
Пример.
Найдите точки экстремума и экстремумы функции .
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел. Саму функцию можно записать в виде:
Найдем производную функции:
В точке x=0
производная не существует, так как значения односторонних пределов при стремлении аргумента к нулю не совпадают:
В это же время, исходная функция является непрерывной в точке x=0
(смотрите раздел исследование функции на непрерывность):
Найдем значения аргумента, при котором производная обращается в ноль:
Отметим все полученные точки на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов. Для этого вычислим значения производной в произвольных точках каждого интервала, к примеру, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6
.
То есть,
Таким образом, по первому признаку экстремума, точками минимума являются , точками максимума являются .
Вычисляем соответствующие минимумы функции
Вычисляем соответствующие максимумы функции
Графическая иллюстрация.
Ответ:
.
Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .
На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции.
Вот формулировки признаков:
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:
Рассмотрим пример для разъяснения алгоритма.
Пример.
Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Решение.
Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .
Переходим к производной функции:
Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x = 0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.
Таким образом, и .
В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.
Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.
Ответ: функция возрастает при , убывает на интервале (0; 2] .
- Точки экстремума функции одной переменной. Достаточные условия экстремума
Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке , не является в нем монотонной. Найдутся такие части [ , ] промежутка , в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т.е. между и.
Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x 0 - ,x 0 +), содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство.
f(x) < f(x 0)(или f(x)>f(x 0))
Иными словами, точка x 0 доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x 0) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x 0 .
Если существует такая окрестность, в пределах которой (при x=x 0) выполняется строгое неравенство
f(x)
то говорят, что функция имеет в точке x 0 собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный.
Если функция имеет максимумы в точках x 0 и x 1 , то, применяя к промежутку вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x 2 между x 0 и x 1 и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на практике – важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они просто чередуются.
Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум.
Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х 0 . Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений относятся к конечному отрезку и являются глобальными свойствами функции на отрезке.
Из рисунка 1 видно, что в точках х 1 и х 3 локальные максимумы, а в точках х 2 и х 4 – локальные минимумы. Однако, наименьшего значения функция достигает в точке х=а, а наибольшего – в точке х=b.
Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.
Предположим сначала, что для фунции f(x) в промежутке(a,b) существует конечная производная. Если в точке х 0 функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х 0 - ,х 0 +), о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f(x)=0 этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю.
Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная равна нулю, доставляет функции экстремум: указанное только что необходимое условие неявляется достаточным
1. Найти область определения функции
2.Найти производную функции
3. Приравнять производную к нулю и найти критические точки функции
4. Отметить критические точки на области определения
5. Вычислить знак производной в каждом из полученных интервалов
6. Выяснить поведение функции в каждом интервале.
Пример: Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (x ) = и число нулей данной функции на промежутке .
Решение:
1. D(f ) = R
2. f "(x ) =
D(f ") = D(f ) = R
3. Найдём критические точки функции, решив уравнение f "(x ) = 0.
x (x – 10) = 0
критические точки функции x = 0 и x = 10.
4. Определим знак производной.
f "(x ) + – +
f (x ) 0 10 x
в промежутках (-∞; 0) и (10; +∞) производная функции положительна и в точках x = 0 и x = 10 функция f (x ) непрерывна, следовательно, данная функция возрастает на промежутках: (-∞; 0]; .
Определим знак значений функции на концах отрезка.
f (0) = 3, f (0) > 0
f (10) = , f (10) < 0.
Так как на отрезке функция убывает и знак значений функции изменяется, то на этом отрезке один нуль функции.
Ответ: функция f(x) возрастает на промежутках: (-∞; 0]; ;
на промежутке функция имеет один нуль функции.
2. Точки экстремума функции: точки максимума и точки минимума. Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции. Правило исследования функции на экстремум .
Определение 1: Точки, в которых производная равна нулю, называются критическими или стационарными.
Определение 2 . Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если значение функции в этой точке меньше (больше) ближайших значений функии.
Следует иметь в виду, что максимум и минимум в данном случае являются локальными.
На рис. 1. изображены локальные максимумы и минимумы.
Максимум и минимум функции объединены общим названием: экстремум функции.Теорема 1. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке максимум или минимум, то ее производная при обращается в нуль, .
Теорема 2. (достаточный признак существования экстремума функции). Если непрерывная функция имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку (за исключением может быть самой этой точки), и если производная при переходе аргумента слева направо через критическую точку меняет знак с плюса на минус, то функция в этой точке имеет максимум, а при переходе знака с минуса на плюс – минимум.
Определение возрастающей функции.
Функция y=f(x) возрастает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Определение убывающей функции.
Функция y=f(x) убывает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b) , то есть при x=a и x=b , то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X .
К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .
Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называютмаксимумом функции и обозначают .
Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называютминимумом функции и обозначают .
Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.
Точки минимума и максимума называют точками экстремума , а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции .
Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.
На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b , которая не является точкой максимума.
На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.
Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:
если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;
если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:
Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.
Пример.
Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Решение.
Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .
Переходим к нахождению производной функции:
Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x=0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.
Статьи по теме: | |
История Румынской Церкви: церковный аспект Храмы румынии
устройство православного Богословского факультета. Буковинско-Далматская... 1 003 шум общие требования безопасности
Обозначение ГОСТ 12.1.003-83 Заглавие на русском языке Система... Выборгское воззвание 1906 г
Выборгское воззвание было принято депутатами первой Государственной Думы... |