Математические способности по Б.В. Гнеденко

Отдельные способности человека еще не гарантируют успеш¬ного выполнения им сложной деятельности. Развитое у человека тонкое восприятие формы и цвета еще не делает его художником. Отличный музыкальный слух сам по себе еще не создает музы¬канта. Для успешного овладения любой деятельностью необходи¬мо определенное сочетание отдельных, частных способностей, образующих единство, качественно своеобразное целое, синтез, или, как говорят, ансамбль, способностей. В этом синтезе отдельные способности (компоненты) обычно объединяются вокруг определенного, стержневого личностного образования, своего рода центральной способности. Указанный синтез не является постоянным и неизменным, это развивающееся и изменяющееся под влиянием деятельности единство.
Различают способности разного уровня - учебные и творчес¬кие. Учебные способности связаны с усвоением уже известных способов выполнения деятельности, приобретением знаний, уме¬ний и навыков. Творческие способности связаны с созданием нового, оригинального продукта, с нахождением новых способов выполнения деятельности. С этой точки зрения различают, напри¬мер, способности к усвоению, изучению математики и творческие математические способности. Разумеется, резко обособлять учеб¬ные и творческие способности нет оснований: учебная деятель¬ность обычно включает в себя и элементы субъективного твор¬чества.
Различают также общие умственные способности и специаль¬ные способности. Общие умственные способности - это способ¬ности, которые необходимы для выполнения не какой-то одной, а многих видов деятельности; эти способности отвечают требова¬ниям, которые предъявляют не одна, а целый ряд, широкий круг относительно родственных деятельностей. К общим умственным способностям относят, например, такие качества ума, как умст¬венная активность, критичность, систематичность, быстрота умст¬венной ориентировки, высокий уровень аналитико-синтетической деятельности, сосредоточенное внимание. Специальные способнос¬ти - это способности, которые необходимы для успешного выполнения какой-нибудь одной определенной деятельности - музы¬кальной, художественно-изобразительной, математической, лите¬ратурной, конструктивно-технической и т. д. Эти способности также представляют собой единство отдельных частных способ¬ностей.
Например, в составе математических способностей большую роль играет математическая память (не память на числа, а память на общие схемы рассуждений и доказательств, на методы решения типовых задач, на общие правила); способность к логи-ческому мышлению в области количественных и пространствен¬ных отношений; быстрое и широкое обобщение математического материала (способность увидеть общее в, казалось бы, различ¬ных математических выражениях и действиях); легкое и сво¬бодное переключение от одной умственной операции к другой стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности рассуждений и решений и т. д. Все частные способности объе¬диняются стержневой способностью - математической направлен¬ностью ума (под которой понимают тенденцию вычленять при восприятии пространственные и количественные отношения, функциональные зависимости), связанной с потребностью в ма¬тематической деятельности.
Конструктивно-технические способности включают такие компоненты, как наблюдательность в области технических приспо¬соблений, позволяющую видеть их достоинства и несовершенства; точность и живость пространственных представлений; комбина¬торную способность (способность составлять из данных узлов, деталей новые комбинации, сопоставлять свойства различных материалов); техническое мышление (способность понимать логику технических устройств).
Музыкальные способности составляют единство таких способ¬ностей, как ладовое чувство, проявляющееся в эмоциональном восприятии и легком узнавании мелодий, способность к слухо¬вому представлению, проявляющуюся в точном воспроизведении мелодии по слуху (иначе говоря, музыкальная память), музы¬кально-ритмическое чувство - способность чувствовать ритм и воспроизводить его. Важное значение имеет и абсолютный слух - способность точно определять высоту звука без сравнения его с эталоном (хотя, по мнению некоторых исследователей, это свой¬ство не обязательное). Все эти частные способности группи¬руются вокруг стержневой способности - музыкальности, под которой понимают способность воспринимать музыку как выра¬жение некоторого содержания (а не просто гармоническое со¬четание звуков).
В основе литературных способностей лежат такие стержневые образования, как творческая активность и эстетическая позиция, объединяющие частные способности - наблюдательность, впе¬чатлительность (эмоциональное переживание воспринятого), на¬личие ярких, наглядных образов памяти, творческое воображе¬ние, а также эмоциональность и выразительность языка.
К художественно-изобразительным способностям относится способность правильной оценки пропорций и светлотных отно¬шений, способность чувствовать выразительную функцию цвета, творческое воображение и др.
Учителю, вдумчиво изучающему учеников, для правильной организации учебно-воспитательного процесса и индивидуального подхода в обучении и воспитании важно знать, и к чему обна¬руживает способности его ученик, и в какой мере выражены эти способности - насколько быстро, легко и прочно овладевает ученик знаниями, умениями и навыками в соответствующей деятельности. О способностях ученика можно судить, наблюдая его проявления в соответствующей деятельности. Практически судить о способностях можно по совокупности следующих пока¬зателей: 1) по быстрому продвижению (темпу продвижения) ученика в овладении соответствующей деятельностью; 2) по качественному уровню его достижений; 3) по сильной, дейст¬венной и устойчивой склонности человека к занятиям этой дея¬тельностью.
Например, по данным некоторых исследований оказалось, что в подавляющем большинстве случаев имелась прямая связь между интересами и склонностями к определенным учебным предметам и способностями к овладению ими.

Часть I
ИНДИВИДУАЛЬНО-ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ЛИЧНОСТИ

В.А. Крутецкий. Математические способности и личность

Прежде всего следует отметить характеризующее способных математиков и совершенно необходимое для успешной деятельности в области математики «единство склонностей и способностей в призвании», выражающееся в избирательно-положительном отношении к математике, наличии глубоких и действенных интересов в соответствующей области, стремлении и потребности заниматься ею, страстной увлеченности делом. Нельзя стать творческим работником в области математики, не переживая увлеченности этой работой, - она порождает стремление к поискам, мобилизует трудоспособность, активность. Без склонности к математике не может быть подлинных способностей к ней. Если ученик не чувствует никакой склонности к математике, то даже хорошие способности вряд ли обеспечат вполне успешное овладение математикой. Роль, которую здесь играют склонность, интерес, сводится к тому, что интересующийся математикой человек усиленно занимается ею, а следовательно, энергично упражняет и развивает свои способности . На это указывают постоянно сами математики, об этом свидетельствуют вся их жизнь и творчество...

Составленные нами характеристики одаренных учащихся ярко свидетельствуют о том, что способности действенно развиваются только при наличии склонностей или даже своеобразной потребности в математической деятельности (в относительно элементарных ее формах). Все без исключения наблюдаемые нами дети обладали обостренным интересом к математике, склонностью заниматься ею, ненасытным стремлением к приобретению знаний по математике, решению задач.

Еще одна черта характера свойственна подлинному ученому - критическое отношение к себе, своим возможностям, своим достижениям, скромность, правильное отношение к своим способностям. Надо иметь в виду, что при неправильном отношении к способному школьнику - захваливании его, чрезмерном преувеличении его достижений, афишировании его способностей, подчеркивании его превосходства над другими - очень легко внушить ему веру в свою избранность, исключительность, заразить его «стойким вирусом зазнайства».

И наконец, последнее. Математическое развитие человека невозможно без повышения уровня его общей культуры. Нужно всегда стремиться к всестороннему, гармоничному развитию личности. Своеобразный «нигилизм» ко всему, кроме математики, резко одностороннее, «однобокое» развитие способностей не могут способствовать успешности в математической деятельности.

Анализируя схему структуры математической одаренности, мы можем заметить, что определенные моменты в характеристике перцептивной, интеллектуальной и мнемической сторон математической деятельности имеют общее значение... Поэтому развернутую схему структуры можно представить и в иной, чрезвычайно сжатой формуле: математическая одаренность характеризуется обобщенным, свернутым и гибким мышлением в сфере математических отношений, числовой и знаковой символики и математическим складом ума. Эта особенность математического мышления приводит к увеличению скорости переработки математической информации (что связано с заменой большого объема информации малым объемом - за счет обобщения и свертывания) и, следовательно, экономии нервио-психических сил... Указанные способности в разной степени выражены у способных, средних и неспособных учеников. У способных при некоторых условиях такие ассоциации образуются «с места», при минимальном количестве упражнений. У неспособных же они образуются с чрезвычайным трудом. Для средних же учащихся необходимым условием постепенного образования таких ассоциаций является системе специально организованных упражнений, тренировка.

СПЕЦИФИЧНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ

Возникает вопрос: в какой степени выделенные нами компоненты являются специфически математическими способностями?

Рассмотрим с этой точки зрения одну из основных способностей, выделенных нами в структуре математической одаренности, - способность к обобщению математических объектов, отношений и действий. Разумеется, способность к обобщению - по природе своей общая способность и обычно характеризует общее свойство обучаемости.

Но речь-то идет в данном случае не о способности к обобщению, а о способности к обобщению количественных и пространственных отношений, выраженных в числовой и знаковой символике.

Чем можно аргументировать нашу точку зрения, заключающуюся в том, что способность к обобщению математического материала есть специфическая способность?

Во-первых, тем, что эта способность проявляется в специфической сфере и может не коррелировать с проивлением соответствующей способности в других областях... Иными словами, человек; талантливый вообще, может быть бездарным в математике. Д.И. Менделеев в школе отличался большими успехами в области математики и физики и получал нули н единицы по языковым предметам. А.С. Пушкин, судя по биографическим данным, учась в лицее, пролил много слез над математикой, приложил много трудов, но «успехов приметных не оказал».

Правда, есть немало случаев и сочетания математической и, например, литературной одаренности. Математик С. Ковалевская была талантливой писательницей, ее литературные произведения оценивались весьма высоко. Известный математик XIX в В.Я. Буняковский был поэтом. Английский профессор математики Ч.Л. Доджсон (XIX в.) был талантливым детским писателем, написал под псевдонимом Льюиса Кэррола известную книгу «Алиса в стране чудес». С другой стороны, поэт В.Г. Бенедиктов написал популярную книгу по арифметике. А.С. Грибоедов успешно учился на математическом факультете университета. Известный драматург А.В. Сухово-Кобылин получил математическое образование в Московском университете, проявлял большие способности к математике и за работу «Теория цепной линии» получил золотую медаль. Серьезно интересовался математикой Н.В. Гоголь. М.Ю. Лермонтов очень любил решать математические задачи. Серьезно занимался методикой преподавания арифметики Л.Н. Толстой.

Во-вторых, можно указать на целый ряд зарубежных исследований, которые показали (правда, основываясь только на тестовой методике и корреляционном и факторном анализе) слабую корреляцию между показателем интеллекта (известно, что способность к обобщению - одна из важнейших характеристик общего интеллекта) и тестами на достижения в математике.

В-третьих, для обоснования нашей точки зрения можно сослаться на учебные показатели (оценки) детей в школе. Многие учителя указывают, что способность к быстрому и глубокому обобщению может проявляться в каком-нибудь одном предмете, не характеризуя учебной деятельности школьника по другим предметам. Некоторые из наших испытуемых, проявляющих, например, способность к обобщению «с места» в области математики, не обладали этой способностью в области литературы, истории или географии. Имели место и обратные случаи: учащиеся, хорошо и быстро обобщающие и систематизирующие материал по литературе, истории или биологии, не проявляли подобной способности , в области математики.

Все сказанное выше позволяет нам сформулировать положение о специфичности математических способностей в следующем виде., - Те или иные особенности, умственной деятельности школьника могут характеризовать только его математическую деятельность, проявляться только в сфере пространственных и количественных отношений, выраженных средствами числовой и знаковой символики, и не характеризовать других видов его деятельности, не коррелировать с соответствующими проявлениями в других областях. Таким образом, общие по своей природе умственные способности (например, способность к обобщению) могут в ряд случаев выступать как специфические способности (способность к обобщению математических объектов, отношений и действий).

Мир математики - мир количественных и пространственных отношений, выраженных посредством числовой и знаковой символики, очень специфичен и своеобразен. Математик имеет дело с условными символическими обозначениями пространственных и количественных отношений, мыслит ими, комбинирует, оперирует ими. И в этом очень своеобразном мире, в процессе весьма специфической деятельности общая способность так преобразуется, так трансформируется, что, оставаясь общей по своей природе, выступает уже как специфическая способность.

Разумеется, наличие специфических проявлений общей способности никак не исключает возможности других проявлений этой же общей способности (как наличие у человека способностей к математике не исключает наличия у него же способностей и в других областях).

НЕКОТОРЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О ПРИРОДЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ

Материалы нашего исследования - анализ многочисленной литературы, анализ случаев чрезвычайно высокой математической одаренности в детском и зрелом возрасте (последнее - по биографическим материалам) - позволяют выделить некоторые факты, представляющие особый интерес для постановки вопроса о природе математической одаренности. Эти факты таковы:

часто (хотя и не обязательное) весьма раннее формирование способностей к математике, нередко в неблагоприятных условиях (например, при явном противодействии родителей, опасающихся столь раннего яркого проявления способностей) и при отсутствии на первых порах систематического и целенаправленного обучения;
острый интерес и склонность к занятиям математикой, также часто проявляющиеся в раннем возрасте;
большая (а часто избирательная) работоспособность в области математики, связанная с относительно малой утомляемостью в процессе напряженных занятий математикой;
характеризующая очень способных к математике людей математическая направленность сума как своеобразная тенденция воспринимать многие явления через призму математических отношений, осознавать их в плане математических категорий.

Все это позволяет выдвинуть гипотезу о роли прирожденных функциональных особенностей мозга в случаях особой (подчеркиваем это!) математической одаренности - мозг некоторых людей своеобразно ориентирован (настроен) на выделение из окружающего мира раздражителей типа пространственных и числовых отношений и символов и на оптимальную работу именно с такого рода раздражителями. В ответ на раздражители, имеющие математическую характеристику, связи образуются относительно быстро, легко, с меньшими усилиями и меньшей затратой сил. Аналогично неспособность к математике (имеются в виду также крайние случаи) имеет своей первопричиной большую затрудненность выделения мозгом раздражителей типа математических обобщенных отношений, функциональных зависимостей, числовых абстрактов и символов и затрудненность операций с ними. Иными словами, некоторые люди обладают такими прирожденными характеристиками строения и функциональных особенностей мозга, которые крайне благоприятствуют (или, наоборот, весьма не благоприятствуют) развитию математических способностей.

И на сакраментальный вопрос; «Математиком можно стать или им нужно родиться?» - мы гипотетически ответили бы так: «Обычным математиком можно стать; выдающимся, талантливым математиком нужно и родиться». Впрочем, здесь мы не оригинальны, - многие выдающиеся ученые утверждают это же. Мы уже приводили слова академика А.Н. Колмогорова: «Талант , одаренность... в области математики... даны от природы не всем». О том же говорит и академик И.Е. Тамм: «Творить новое... под силу только специально одаренным людям» (речь идет о научном творчестве высокого уровня. - В.К.). Все это сказано пока лишь в порядке гипотезы.

Выяснение физиологической природы математических способностей является важной задачей дальнейших исследований в этой области. Современный уровень развития психологии и физиологии вполне позволяет поставить вопрос о физиологической природе и физиологических механизмах некоторых специфических способностей человека.

Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М., 1968, с.380-390, 397-400

Взгляды зарубежных психологов на математические способности
В исследование математических способностей внесли свой вклад и такие яркие представители определенных направлений в психологии, как А. Бинэ, Э. Трондайк и Г. Ревеш, и такие выдающиеся математики, как А. Пуанкаре и Ж. Адамар.

Большое разнообразие направлений определило и большое разнообразие в подходе к исследованию математических способностей, в методических средствах и теоретических обобщениях.

Единственное, в чем сходятся все исследователи, это, пожалуй, мнение о том, что следует различать обычные, «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта.

Большое единство взглядов проявляют зарубежные исследователи по вопросу о врожденности или приобретенности математических способностей. Если и здесь различать два разных аспекта этих способностей - «школьные» и творческие способности, то в отношении вторых существует полное единство - творческие способности ученого-математика являются врожденным образованием, благоприятная среда необходима только для их проявления и развития. В отношении «школьных» (учебных) способностей зарубежные психологи высказываются не столь единодушно. Здесь, пожалуй, доминирует теория параллельного действия двух факторов - биологического потенциала и среды.

Основным вопросом в исследовании математических способностей (как учебных, так и творческих) за рубежом был и остается вопрос о сущности этого сложного психологического образования. В этом плане можно выделить три важные проблемы.
1. Проблема специфичности математических способностей. Существуют ли собственно математические способности как специфическое образование, отличное от категории общего интеллекта? Или математические способности есть качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к математической деятельности? Иначе говоря, можно ли утверждать, что математическая одаренность - это не что иное, как общий интеллект плюс интерес к математике и склонность заниматься ею?
2. Проблема структурности математических способностей. Является ли математическая одаренность унитарным (единым неразложимым) или интегральным (сложным) свойством? В последнем случае можно ставить вопрос о структуре математических способностей, о компонентах этого сложного психического образования.
3. Проблема типологических различий в математических способностях. Существуют ли различные типы математической одаренности или при одной и той же основе имеют место различия только в интересах и склонностях к тем или иным разделам математики?

Взгляды Б.М. Теплова на математические способности
Хотя математические способности и не были предметом специального рассмотрения в трудах Б.М. Теплова, однако ответы на многие вопросы, связанные с их изучением, можно найти в его работах, посвященных проблемам способностей. Среди них особое место занимают две монографические работы «Психология музыкальных способностей» и «Ум полководца», ставшие классическими образцами психологического изучения способностей и вобравшими в себя универсальные принципы подхода к этой проблеме, которые возможно и необходимо использовать при изучении любых видов способностей.

В обеих работах Б. М. Теплов не только дает блестящий психологический анализ конкретных видов деятельности, но и на примерах выдающихся представителей музыкального и военного искусства раскрывает необходимые составляющие, из которых складываются яркие таланты в этих областях. Особое внимание Б. М. Теплов уделил вопросу о соотношении общих и специальных способностей, доказывая, что успех в любом виде деятельности, в том числе в музыке и военном деле, зависит не только от специальных компонентов (например, в музыке - слух, чувство ритма), но и от общих особенностей внимания, памяти, интеллекта. При этом общие умственные способности неразрывно связаны со специальными способностями и существенно влияют на уровень развития последних.

Наиболее ярко роль общих способностей продемонстрирована в работе «Ум полководца». Остановимся на рассмотрении основных положений этой работы, поскольку они могут быть использованы при изучении других видов способностей, связанных с мыслительной деятельностью, в том числе и математических способностей. Проведя глубокое изучение деятельности полководца, Б.М. Теплов показал, какое место в ней занимают интеллектуальные функции. Они обеспечивают анализ сложных военных ситуаций, выявление отдельных существенных деталей, способных повлиять на исход предстоящих сражений. Именно способность к анализу обеспечивает первый необходимый этап в принятии верного решения, в составлении плана сражения. Вслед за аналитической работой наступает этап синтеза, позволяющего объединить в единое целое многообразие деталей. По мнению Б.М. Теплова, деятельность полководца требует равновесия процессов анализа и синтеза, при обязательном высоком уровне их развития.

Важное место в интеллектуальной деятельности полководца занимает память. Она очень избирательна, то есть удерживает прежде всего необходимые, существенные детали. В качестве классического примера такой памяти Б.М. Теплов приводит высказывания о памяти Наполеона, который помнил буквально все, что имело непосредственное отношение к его военной деятельности, начиная от номеров частей и кончая лицами солдат. При этом Наполеон был неспособен запоминать бессмысленный материал, но обладал важной особенностью мгновенно усваивать то, что подчинялось классификации, определенному логическому закону.

Б.М. Теплов приходит к выводу, что «умение находить и выделять существенное и постоянная систематизация материала - вот важнейшие условия, обеспечивающие единство анализа и синтеза, то равновесие между этими сторонами мыслительной деятельности, которые отличают работу ума хорошего полководца» (Б.М. Теплов 1985, стр. 249). Наряду с выдающимся умом полководец должен обладать определенными личностными качествами. Это прежде всего мужество, решительность, энергия, то есть то, что применительно к полководческой деятельности принято обозначать понятием «воля». Не менее важным личностным качеством является стрессоустойчивость. Эмоциональность талантливого полководца проявляется в сочетании эмоции боевого возбуждения и умении собраться, сосредоточиться.

Особое место в интеллектуальной деятельности полководца Б.М. Теплов отводил наличию такого качества, как интуиция. Он анализировал это качество ума полководца, сравнивая его с интуицией ученого. Между ними существует много общего. Основное же отличие, по мнению Б. М. Теплова, состоит в необходимости для полководца принятия срочного решения, от которого может зависеть успех операции, в то время как ученый не ограничен временными рамками. Но и в том и другом случае «озарению» должен предшествовать упорный труд, на основе которого и может быть принято единственно верное решение проблемы.

Подтверждения положениям, проанализированным и обобщенным Б.М. Тепловым с психологических позиций, можно обнаружить в работах многих выдающихся ученых, в том числе и математиков. Так, в психологическом этюде «Математическое творчество» Анри Пуанкаре подробно описывает ситуацию, при которой ему удалось сделать одно из открытий. Этому предшествовала долгая подготовительная работа, большой удельный вес в которой составлял, по мнению ученого, процесс бессознательного. За этапом «озарения» необходимо следовал второй этап - тщательной сознательной работы по приведению в порядок доказательства и его проверке. А. Пуанкаре пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи. Казалось бы, это должно быть доступно любому способному логически мыслить человеку. Однако далеко не каждый оказывается способным оперировать математическими символами с той же легкостью, что и при решении логических задач.

Для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода - есть основной элемент математического творчества. Одни люди не владеют этим тонким чувством и не обладают сильной памятью и вниманием и поэтому не способны понимать математику. Другие обладают слабой интуицией, но одарены хорошей памятью и способностью к напряженному вниманию и потому могут понимать и применять математику. Третьи владеют такой особой интуицией и даже при отсутствии отличной памяти могут не только понимать математику, но и делать математические открытия.

Здесь речь идет о математическом творчестве, доступном немногим. Но, как писал Ж. Адамар, «между работой ученика, решающего задачу по алгебре или геометрии, и творческой работой разница лишь в уровне, в качестве, так как обе работы аналогичного характера». Для того чтобы понять, какие качества еще требуются для достижения успехов в математике, исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу. При этом мнения большинства исследователей сходились в одном - что нет и не может быть единственной ярко выраженной математической способности - это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения.

Среди наиболее важных компонентов математических способностей выделяются специфическая способность к обобщению математического материала, способность к пространственным представлениям, способность к отвлеченному мышлению. Некоторые исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента математических способностей математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним. Советский психолог, исследовавший математические способности у школьников, В.А. Крутецкий дает следующее определение математическим способностям: «Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обусловливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики».

Исследование математических способностей включает в себя и решение одной из важнейших проблем - поиска природных предпосылок, или задатков, данного вида способностей. К задаткам относятся врожденные анатомо-физиологические особенности индивида, которые рассматриваются как благоприятные условия для развития способностей. Долгое время задатки рассматривались как фактор, фатально предопределяющий уровень и направление развития способностей. Классики отечественной психологии Б.М. Теплов и С.Л. Рубинштейн научно доказали неправомерность такого понимания задатков и показали, что источником развития способностей является тесное взаимодействие внешних и внутренних условий. Выраженность того или иного физиологического качества ни в коей мере не свидетельствует об обязательном развитии конкретного вида способностей. Оно может являться лишь благоприятным условием для этого развития. Типологические свойства, входящие в состав задатков и являющиеся важной их составляющей, отражают такие индивидуальные особенности функционирования организма, как предел работоспособности, скоростные характеристики нервного реагирования, способность перестройки реакции в ответ на изменение внешних воздействий.

Свойства нервной системы, тесно связанные со свойствами темперамента, в свою очередь, влияют на проявление характерологических особенностей личности (В.С. Мерлин, 1986). Б. Г. Ананьев, развивая представления об общей природной основе развития характера и способностей, указывал на формирование в процессе деятельности связей способностей и характера, приводящих к новым психическим образованиям, обозначаемым терминами «талант» и «призвание» (Ананьев Б.Г., 1980). Таким образом, темперамент, способности и характер образуют как бы цепь взаимосвязанных подструктур в структуре личности и индивидуальности, имеющих единую природную основу

Общая схема структуры математических способностей в школьном возрасте по В.А. Крутецкому
Собранный В. А. Крутецким материал позволил ему выстроить общую схему структуры математических способностей в школьном возрасте.
1. Получение математической информации.
Способность к формализованному восприятию математического материала, схватыванию формальной структуры задачи.
2. Переработка математической информации.
1) Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.
2) Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.
3) Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.
4) Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности.
5) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.
6) Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении).
3. Хранение математической информации.
1) Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним).
4. Общий синтетический компонент.
1) Математическая направленность ума. Выделенные компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, целостную структуру, своеобразный синдром математической одаренности, математический склад ума.

Не входят в структуру математической одаренности те компоненты, наличие которых в этой системе не обязательно (хотя и полезно). В этом смысле они являются нейтральными по отношению к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее, степень их развития) определяют тип математического склада ума. Не являются обязательными в структуре математической одаренности следующие компоненты:
1. Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика.
2. Вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме).
3. Память на цифры, числа, формулы.
4. Способность к пространственным представлениям.
5. Способность наглядно представить абстрактные математические отношения и зависимости.

Математические способности у детей относят к категории врождённых талантов. Первые шаги к изучению математики малыши делают ещё в дошкольном возрасте. Математическое мышление тесно связано с творчеством, уровнем развития умственных способностей. Но не все дети с лёгкостью осваивают точную науку. Почему так происходит? И можно ли развить математические способности у ребёнка?

Неправильно думать, что детский ум ограничен и не способен понять математику. Как и любой другой природный дар, математические способности откроются только в результате правильного, системного развития. А значит, в обучении детей не то, что можно, очень важно с раннего дошкольного возраста уделять внимание развитию этих задатков.

Тем более важно это делать, что новое поколение детей будет искать своё призвание в мире, где правят цифровые технологии. Любая профессия связана с математикой, даже самая гуманитарная или творческая. Благодаря математике ребёнок учится целостному и быстрому мышлению, анализу, делает взвешенные выводы.

Как развивать математические способности ребёнка до 7 лет? Результаты зависят не только от возраста, когда вы приступили к обучению, но и от выбранных методов. Определить курс и нагрузки в обучении дошкольников поможет диагностика математических способностей детей 5, 6 и 7 лет. Она позволит оценить наличие и уровень развития у малышей математического мышления, базовых знаний по математике.

Диагностика математических способностей у ребёнка по А. В. Белошистой

Если малыш быстро выучил цифры и научился считать, это ещё не означает, что в семье растёт математик. Устный счёт – самая простая тема в точной науке. О математических способностях судят по таким свойствам ума, как:

анализ и логика;
способность читать схемы, формулы;
понимание абстрактных понятий;
умение точно воспринимать формы предметов в пространстве.

Над вопросом диагностики и развития математических способностей у детей дошкольного возраста (младшего – 5 и 6 лет, старшего 6 и 7 лет) уже много лет работает доктор наук Белошистая В. А. Её метод оценки детских математических талантов имеет несколько курсов:

Диагностика для детей 5-6 лет. Проводится в два этапа с целью оценки способности синтеза, анализа. Тестирование индивидуальное. По его результатам можно судить о том, понимает ли малыш разницу между фигурами, формами предметов, умеет ли делить вещи на группы по самостоятельно выбранному признаку, владеет ли навыками обобщения, сравнения.
Диагностика на предмет образного анализа у дошкольников 5 и 6 лет.
Проверка старших дошкольников (5 -7 лет) с целью определить уровень развития навыков анализа и синтеза. В задании детям нужно выделять конкретные фигуры на сложных изображениях, из множества пересекающихся между собой фигур.
Диагностика базовых математических представлений: счёт, сравнение, знание понятий «больше» и «меньше», «шире» и «уже», и др.

Для более полной картины развития математических способностей у дошкольников в динамике первые два вида диагностики проводят на начало учебного года, а вторые два – в мае (в конце года).

Подручный материал для тестов должен быть ярким, простым в использовании, понятным для ребёнка. Для каждого возраста применяют разные задачи.

Метод Колесниковой Е.В. для диагностики математических способностей ребёнка

На счету известного в России педагога, учёного Е. В. Колесниковой не один десяток книг и пособий по подготовке младших и средних дошкольников. Один из основных курсов её работы – диагностика математических способностей у детей 6-7 лет. Метод Колесниковой получил одобрение ФГОС, как такой, что отвечает стандартам педагогической диагностики России. Однако метод успешно применяют для оценки уровня математических способностей у дошкольников в разных странах.

Цель методики: оценка уровня готовности малыша к школе, поиск пробелов в изучении базовых математических знаний для коррекции недостатков обучения на этапе подготовки к школе. Плюс метода – точная и самая полная диагностика знаний ребёнка.

Советы родителям по развитию математических способностей ребёнка

Альберт Эйнштейн называл игру высшей формой исследования. В выборе методов развития детей родителям полезно применять именно игровую деятельность.

Развитие способностей к точной науке у детей таким способом помогает:

лучше понять окружающий мир;
оценить свои возможности;
стать коммуникабельными;
тренировать мышление;
получить основные представления о математике, как науке;
стать более уверенными, самостоятельными.

В обучении используют такие игры:

Палочки для счёта. С их помощью дети учатся различать формы предметов, сравнивать, развивают внимание, память, сообразительность и усидчивость.
Загадки. Отлично развивают логику, аналитическое мышление, учат синтезировать информацию, обобщать и классифицировать данные. То есть, математические загадки комплексно развивают математический интеллект, а также воспитывают упорство, волевые качества, которые помогают решать поставленные задачи вопреки трудностям.
Головоломки. Тренируют пространственное мышление, развивают память и логику, наблюдательность и смекалку. В их решении ребёнок учится просчитывать свои шаги, осваивает счёт (простой, порядковый).

Развивать математические способности посредством игровой деятельности полезно по нескольким причинам:

ребёнку легче воспринимать знания;
формируется положительное отношение к предмету, а значит и внутренний интерес;
игра даёт возможность применить творческий подход к решению задач (развивает творческий потенциал);
игра – это интересно, а значит, ребёнок видит смысл в обучении (мотивация).

Можно ли развивать математические способности дошкольников с помощью сказок?

В детскую память нельзя ничего поместить насильно – путём зубрёжки и множества повторений. Если же знание связано с вполне реальной эмоцией, оно наверняка поселится в детской памяти надолго. Поэтому задача родителей – в процессе занятий радовать, удивлять и восхищать своих маленьких учеников. Как это сделать? Вряд ли я открою секрет, если скажу, что для этого дела идеально подходит сказка – первый проводник в знакомстве с особенностями окружающего мира, отношений между людьми.

Для детей сказочный сюжет не менее реальный, чем события настоящей жизни. Сказки развивают воображение, речь, гибкость мышления, создают особое видение мира, учат хорошим качествам (честность, доброта, верность). Развивать математические способности посредством сказок легко, если проявить немного фантазии:

Простой счёт весело учить со сказкой о козлёнке, что умел считать до десяти, «Волк и семеро козлят».
Порядковый счёт поможет освоить «Теремок» и даже «Репка».
В «Трёх медведях» ребёнок знакомится с понятиями «большой» «маленький» и «средний», учится считать до трёх.

Занятия со сказками можно бесконечно менять и усложнять. Например, предложить крохе сравнить зверушек с геометрическими фигурами. Поиск похожести героев сказки и фигур развивает способность мыслить абстрактно.

Развивать математические способности с помощью сказок удобно, так как родители могут это делать в любое время вне занятий (дома, на прогулке, в поездке). Сказка может стать и частью учебной программы в детском саду или школе. На основе хорошо знакомого детям сюжета учителя создают загадки и лабиринты, берут их за основу числовых задач, считалок для зарядки пальцев рук. Но самое важное – такие занятия нравятся детям.

Как устный счет Соробан развивает мышление

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

РЕФЕРАТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Психолого-педагогические основы обучения математики

«Математические способности»

ВЫПОЛНИЛ: студентка

заочного отделения Дудрова Л.В.

ПРОВЕРИЛ: Гуменская О.М.

Саратов 2013

Введение

1. Математические способности

4. Возрастные особенности математических способностей0

Заключение

Библиография

Введение

Способности - совокупность психических качеств имеющих сложную структуру. К примеру, в структуре способностей математических есть: способность к математическому обобщению, способность к приостановлению процесса математических рассуждений и действий, гибкость при решении задач математики и т.д.

Структура способностей литературных характеризуется наличием высокоразвитых эстетических чувств, ярких образов памяти, чувства красоты языка, фантазии и потребности самовыражения.

Структура способностей в музыке, педагогике, медицине также имеет довольно специфический характер. Есть среди свойств личности, образующих структуру определенных способностей, занимающие ведущее положение, а есть и вспомогательное. Например, в структуре способностей педагога ведущими будут: тактичность, способность к избирательному наблюдению, любовь к воспитанникам, не исключающая требовательности, потребность учить, способность организовать учебный процесс и т. д. Вспомогательными: артистичность, способность лаконично и понятно выражать свои мысли и др.

Понятно то, что и ведущие, и вспомогательные элементы способностей педагога образуют единую составляющую успешного обучения и воспитания.

1. Математические способности

В исследование математических способностей внесли свой вклад и такие яркие представители определённых направлений в психологии, как А. Бинэ, Э. Торндайк и Г. Ревеш, и такие выдающиеся математики, как А. Пуанкаре и Ж. Адамар. Большое разнообразие направлений определяет и большое разнообразие в подходах к исследованию математических способностей. Разумеется, исследование математических способностей следует начинать с определения. Попытки такого рода делались неоднократно, но установившегося, удовлетворяющего всех определения математических способностей не имеется до сих пор. Единственное, в чём сходятся все исследователи, это, пожалуй, мнение о том, что следует различать обычные, «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта.

Ещё в 1918 году в работе А. Роджерс отмечались две стороны математических способностей, репродуктивная (связанная с функцией памяти) и продуктивная (связанная с функцией мышления). В. Бетц определяет мат. способности как способности ясного осознания внутренней связи математических отношений и способность точно мыслить математическими понятиями. Из работ отечественных авторов необходимо упомянуть оригинальную статью Д. Мордухай-Болтовского «Психология математического мышления», опубликованную в 1918 году. Автор, специалист математик, писал с идеалистической позиции, придавая, например, особо значение «бессознательному мыслительному процессу», утверждая, что «мышление математика глубоко внедряется в бессознательную сферу, то, всплывая на её поверхность, то погружаясь в глубину. Математик не осознает каждого шага своей мысли, как виртуоз движения смычка».

Большой интерес представляет попытка Мордухай-Болтовского выделить компоненты математических способностей. К таким компонентам он относит в частности: «сильную память», память на «предметы того типа, с которыми имеет дело математика», память скорее не на факты, а на идеи и мысли, «остроумие», под которым понимается способность «обнимать в одном суждении» понятия из двух малосвязанных областей мысли, находить в уже известном сходное с данным, отыскивать сходное в самых отделённых казалось бы, совершенно разнородных предметах.

Советская теория способностей создавалась совместным трудом виднейших отечественных психологов, из которых в первую очередь надо назвать Б.М. Теплова, а так же Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, С.Л. Рубинштейна и Б.Г. Ананьева.

Помимо общетеоретических исследований проблемы математических способностей, В.А. Крутецкий своей монографией «Психология математических способностей школьников» положил начало экспериментальному анализу структуры математических способностей. Под способностями к изучению математики он понимает индивидуально- психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие при прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, лёгкое и глубокое овладения знаниями, умениями, навыками в области математики. Д.Н. Богоявленский и Н.А. Менчинская, говоря об индивидуальных различиях в обучаемости детей, вводит понятие психологических свойств, определяющих при прочих равных условиях успех в учении. Они не употребляют термина «способности», но по существу соответствующее понятие близко к тому определению, которое дано выше.

Математические способности - сложное структурное психическое образование, своеобразный синтез свойств, интегральное качество ума, охватывающее разнообразные его стороны и развивающееся в процессе математической деятельности. Указанная совокупность представляет собой единое качественно-своеобразное целое, - только в целях анализа мы выделяем отдельные компоненты, отнюдь не рассматривая их как изолированные свойства. Эти компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, проявления которой мы условно называем «синдром математической одаренности».

2. Структура математических способностей

Большой вклад в разработку данной проблемы внёс В.А. Крутецкий. Собранный им экспериментальный материал позволяет говорит о компонентах, занимающих существенное место в структуре такого интегрального качества ума, как математическая одарённость.

Общая схема структуры математических способностей в школьном возрасте

1. Получение математической информации

А) Способность к формализованному восприятию математического материала, охватыванию формальной структуры задачи.

2. Переработка математической информации.

А) Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.

Б) Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.

В) Способность к свёртыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.

Г) Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности.

Д) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.

Е) Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключение с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении.

3. Хранение математической информации.

А) Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним)

4. Общий синтетический компонент.

А) Математическая направленность ума.

Не входят в структуру математической одарённости те компоненты, наличие которых в этой структуре не обязательно (хотя и полезно). В этом смысле они являются нейтральными по отношению к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее степень развития) определяют типы математического склада ума.

1. Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика. Индивидуальный темп работы не имеет решающего значения. Математик может размышлять неторопливо, даже медленно, но очень обстоятельно и глубоко.

2. Вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме). Известно, что есть люди, способные производить в уме сложные математические вычисления (почти мгновенное возведение в квадрат и куб трёхзначных чисел), но не умеющие решать сколько-нибудь сложные задачи. Известно также, что существовали и существуют феноменальные «счётчики» не давшие математике ничего, а выдающийся математик А.Пуанкаре писал о себе, что без ошибки не может сделать даже сложение.

3. Память на цифры, формулы, числа. Как указывал академик А.Н. Колмогоров, многие выдающиеся математики не обладали сколько-нибудь выдающейся памятью такого рода.

4. Способность к пространственным представлениям.

5. Способность наглядно представлять абстрактные математические отношения и зависимости

Следует подчеркнуть, что схема структуры математических способностей имеет в виду математические способности школьника. Нельзя сказать в какой мере её можно считать общей схемой структуры математических способностей, в какой мере её можно отнести к вполне сложившимся одарённым математикам.

3. Типы математических складов ума

Хорошо известно, что в любой области науки одарённость как качественное сочетание способностей всегда многообразна и в каждом отдельном случае своеобразна. Но при качественном многообразии одарённости всегда можно наметить какие-то основные типологические различия в структуре одарённости, выделить определённые типы, значительно отличающиеся один от другого, разными путями приходящие к одинаково высоким достижениям в соответствующей области. Об аналитическом и геометрическом типах упоминается работах А. Пуанкаре, Ж. Адамара, Д. Мордухай-Болтовского, но с этими терминами у них связывается скорее логический, интуитивный пути творчества в математике.

Из отечественных исследователей вопросами индивидуальных различий учащихся при решении задач с точки зрения соотношения абстрактных и образных компонентов мышления много занималась Н.А. Менчинская. Она выделяла учащихся с относительным преобладанием: а) образного мышления над абстрактным; б)абстрактного над образным в)гармоническим развитием обоих видов мышления.

Нельзя думать, что аналитический тип проявляется только в алгебре, а геометрический - в геометрии. Аналитический склад может проявляться в геометрии, а геометрический - в алгебре. В.А. Крутецкий дал развернутую характеристику каждого типа.

Аналитический тип

Мышление представителей этого типа характеризуется явным преобладанием очень хорошо развитого словесно-логического компонента над слабым наглядно-образным. Они легко оперируют отвлечёнными схемами. У них нет потребности в наглядных опорах, в использование предметной или схематической наглядности при решении задач, даже таких, когда данные в задаче математические отношения и зависимости «наталкивают» на наглядные представления.

Представители этого типа не отличаются способностью наглядно-образного представления и в силу этого используют более трудный и сложный логико-аналитический путь решения там, где опора на образ дает гораздо более простое решение. Они очень успешно решают задачи, выраженные в абстрактной форме, задачи же, выраженные в конкретно-наглядной форме, стараются по возможности переводить в абстрактный план. Операции, связанные с анализом понятий, осуществляются ими легче, чем операции, связанные с анализом геометрической схемы или чертежа.

Геометрический тип

Мышление представителей этого типа характеризуется очень хорошо развитым наглядно-образным компонентом. В связи с этим условно можно говорить о преобладании над хорошо развитым словесно-логическим компонентом. Эти учащиеся испытывают потребность в наглядной интерпретации выражения абстрактного материала и демонстрируют большую избирательность в этом отношении. Но если им не удается создать наглядные опоры, использовать предметную или схематическую наглядность при решении задач, то они с трудом оперируют отвлечёнными схемами. Они упорно пытаются оперировать наглядными схемами, образами, представлениями даже там, где задача легко решается рассуждением, а использование наглядных опор излишне или затруднительно.

Гармонический тип

Для этого типа характерно относительное равновесие хорошо развитых словесно-логического и наглядно-образного компонентов при ведущей роли первого. Пространственные представления у представителей этого типа развиты хорошо. Они избирательны в наглядной интерпретации абстрактных отношений и зависимостей, но наглядные образы и схемы подчинены у них словесно-логическому анализу. Оперируя наглядными образами, эти учащиеся чётко осознают, что содержание обобщения не исчерпывается частными случаями. Успешно осуществляют они и образно- геометрический подход к решению многих задач.

Установленные типы, по-видимому, имеют общее значение. Наличие их подтверждается многими исследованиями.

4. Возрастные особенности математических способностей

математический способность ум

В зарубежной психологии до настоящего времени широко распространены представления о возрастных особенностях математического развития школьника, исходящих из ранних исследований Ж.Пиаже. Пиаже считал, что ребёнок только к 12 годам становится способным к абстрактному мышлению. Анализируя стадии развития математических рассуждений подростка, Л. Шоанн пришёл к выводу, что в плане наглядно-конкретном школьник мыслит до 12 - 13 лет, а мышление в плане формальной алгебре, связанной с овладением операциями, символами, складывается лишь к 17 годам.

Исследование отечественных психологов дают иные результаты. Ещё П.П. Блонский писал об интенсивном развитие у подростка (11 - 14 лет) обобщающего и абстрагирующего мышления, умения доказывать и разбираться в доказательствах. Возникает законный вопрос: в какой мере можно говорить о математических способностях по отношению к младшим школьникам? Исследования под руководством И.В. Дубровиной, даёт основание ответить на этот вопрос следующим образом. Конечно, исключая случаи особой одарённости, мы не можем говорить о сколько-либо сформированной структуре собственно математических способностей применительно к этому возрасту. Поэтому понятие «математические способности» условно в применение к младшим школьникам - детям 7 -10-лет, при исследовании компонентов математических способностей в этом возрасте речь обычно может идти лишь об элементарных формах таких компонентов. Но отдельные компоненты математических способностей формируются уже и в начальных классах.

Опытное обучение, которое осуществлялось в ряде школ сотрудниками Института психологии (Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов) показывает, что при специальной методике обучения младшие школьники приобретают большую способность к отвлечению и рассуждению, чем принято думать. Однако, хотя возрастные особенностями школьника в большей мере зависят от условий, в которых осуществляется обучение, что они целиком создаются обучением, было бы неверно. Поэтому неправильна крайняя точка зрения на этот вопрос, когда считают, что не существует никакой закономерности естественного психического развития. Более эффективная система обучения может «стать» весь процесс, но до известных пределов, может несколько измениться последовательность развития, но не может придать линии развития совершенно иной характер.

Таким образом, возрастные особенности, о которых говорится, - это несколько условное понятие. Поэтому все исследования ориентированные на общую тенденцию, на общее направление развития основных компонентов структуры математических способностей под влиянием обучения.

Заключение

Проблема математических способностей в психологии представляет обширное поле действия для исследователя. В силу противоречий между различными течениями в психологии, а также внутри самих течений, пока не может быть и речи о точном и строгом понимании содержания этого понятия.

Рассмотренные в данной работе книги подтверждают это заключение. Вместе с тем следует отметить неугасающий интерес к этой проблеме во всех течениях психологии, что подтверждает следующий вывод.

Практическая ценность исследований по этой теме очевидна: математическое образование играет ведущую роль в большинстве образовательных систем, а оно, в свою очередь, станет более эффективным после научного обоснования его основы - теории математических способностей.

Итак, как утверждал В.А. Крутецкий: "Задача всестороннего и гармонического развития личности человека делает совершенно необходимой глубокую научную разработку проблемы способности людей к тем или иным видам деятельности. Разработка этой проблемы представляет как теоретический, так и практический интерес".

Библиография

1. Габдреева Г.Ш. Основные аспекты проблемы тревожности в психологии // Тонус. 2000 №5

2. Гуревич К.М. Основы профориентации М., 72.

3. Дубровина И.В. Индивидуальные различия в способности к обобщению математического и нематематического материала в младшем школьном возрасте. // Вопросы психологии.,1966 №5

4. Изюмова И.С. Индивидуально-типологические особенности школьников с литературными и математическими способностями.// Психол. журн. 1993 №1. Т.14

5. Изюмова И.С. К проблеме природы способностей: задатки мнемических способностей у школьников математических и литературных классов. // Психол. журн.

6. Елесеев О.П. Практикум по психологии личности. Спб., 2001

7. Ковалев А.Г. Мясищев В.Н. Психологические особенности человека. Т.2 «Способности» ЛГУ.: 1960

8. Колесников В.Н. Эмоциональность, её структура и диагностика. Петррозаводск. 1997.

9. Кочубей Б.И. Новиков Е.А. Эмоциональная устойчивость школьников. М. 1988

10. Крутецкий В.А. Психология математических способностей. М. 1968

11. Левитов В.Г. психическое состояние беспокойства, тревоги.//Вопросы психологии 1963. №1

12. Лейтис Н.С. Возрастная одаренность и индивидуальные различия. М. 1997

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Компоненты математических способностей, степень их проявления в младшем школьном возрасте, природные предпосылки и условия формирования. Основные формы и методика проведения внеклассной работы: кружковые занятия, математические вечера, олимпиады, игры.

дипломная работа , добавлен 06.11.2010

Специфика развития математических способностей. Формирование математических способностей детей дошкольного возраста. Логическое мышление. Роль дидактических игр. Методика обучения счету и основам математики дошкольников через игровую деятельность.

реферат , добавлен 04.03.2008

Психолого-педагогическая характеристика детей 5-6 лет, специфика развития их математических способностей. Требования к подготовленности воспитателя и роль дидактической игры. Вовлечение родителей в деятельность по развитию математических способностей.

реферат , добавлен 22.04.2010

Способности и их связь с умениями и навыками. Общая структура математических способностей по В.А. Крутецкому. Анализ задачного материала темы "Теория делимости". Особенности формирования способности к формализованному восприятию математического материала.

дипломная работа , добавлен 26.08.2011

Понятия творчества и творческих способностей. Виды математических игр. Игры Б. Финкельштейна с блоками Дьенеша как средство развития творческих способностей. Результаты опытно-практической работы по использованию игр с математическим содержанием.

курсовая работа , добавлен 11.08.2014

Сущность понятия "способности". Классификация составляющих математических возможностей учащихся, обеспечивающих полноценную деятельность ребенка. Логико-дидактический анализ темы "Обыкновенные дроби" на предмет развития математических способностей.

курсовая работа , добавлен 10.04.2014

Особенность развития математических способностей младших школьников как психолого-педагогическая проблема. Анализ применения оригами в современной учебной литературе для учащихся. Вырабатывание общематематических умений у детей на уроках технологии.

дипломная работа , добавлен 25.09.2017

Особенности развития математических способностей, преимущества использования дидактических игр в процессе занятий. Методика обучения детей старшего дошкольного возраста основам математики посредством дидактических игр и задач, оценка их эффективности.

курсовая работа , добавлен 13.01.2012

Сущность понятий "творчество", "творческие способности". Развитие способностей ребенка в младшем школьном возрасте. Диагностика творческих способностей. Развитие креативных способностей учащихся. Интеллектуальная одаренность и творческие способности.

курсовая работа , добавлен 07.04.2014

Основы методики изучения математических понятий. Математические понятия, их содержание и объём, классификация понятий. Психолого-педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах. Психологические аспекты формирования понятий.